Специфика усвоения математических знаний детьми среднего школьного возраста

Автор: Янкина Мария Александровна

Организация: ГБОУ СОШ № 519

Населенный пункт: г. Санкт-Петербург

Центральной задачей обучения и воспитания является развитие мышления у ребенка. Для того, чтобы правильно формировать мышление, необходимо представлять его психологические механизмы и направления его развития. В данной статье будут рассмотрены две проблемы: особенности усвоения математических знаний в виду разных врожденных способностей учеников и соотнесение информации на уроках математики с реальным миром.

Психологами и физиологами доказано, что левое полушарие специализируется на вербально-символических функциях, а правое - на пространственно-синтетических. Функцией правого полушария является видение мира, и обработка информации начинается с него. Этот факт в обучении математике имеет большое значение. Правое полушарие обрабатывает одновременно большое количество деталей, элементов, осуществляя одномоментное схватывание рассматриваемой «картины». Левое же полушарие обрабатывает поступающую информацию поэлементно, производя анализ каждой отдельной порции. Работа левого полушария позволяет человеку свободно оперировать цифрами и математическими формулами. Правое полушарие является носителем неосознаваемых творческих потенций человека. При чтении технических, математических текстов больше активизируется работа левого полушария, а при чтении художественных – правого.

Исследования показали, что у детей от 3 до 7 лет в ситуации как непроизвольного, так и произвольного внимания активизируется преимущественно правое полушарие, и только начиная с 10-летнего возраста, - левое. Сдвиг асимметрии в сторону относительного преобладания левого полушария становится особенно выраженным к концу подросткового периода [3]. Между 10 и 14 годами существенно возрастает активированность левого полушария. Проводить резкой границы между людьми, у которых доминирует левое или правое полушарие, нельзя, а можно лишь выделить относительное преобладание особенностей работы того или иного полушария. Школьники, как и все люди, мыслят по-разному: у одних абстрактное, словесно-логическое мышление преобладает над образным, у других преобладает образное мышление, у третьих образные и абстрактные компоненты находятся в равновесии. Значительное большинство людей обладает мышлением, основные компоненты которого развиты относительно равномерно.  Некоторые ученики (правополушарного типа, или «левши») имеют такие особенности, что видят конкретные образы, нежели символы. Такие ученики рискуют отставать в чтении, математике, и лучше воспринимают информацию в виде графиков, карт, демонстраций и т.д. Следует иметь в виду, что есть некоторый процент «переученных левшей» (сейчас меньше, чем раньше), есть амбидекстры.

В. А. Крутецкий в своих исследованиях выделяет следующие типы мышления [4]: аналитический, геометрический и гармонический. Мышление представителей аналитического типа характеризуется явным преобладанием очень хорошо развитого словесно-логического компонента над слабым наглядно-образным. Они легко оперируют отвлеченными схемами, у них нет потребности в наглядных опорах, в использовании предметной и схематической наглядности при решении задач. Представители аналитического типа успешно решают задачи, выраженные в абстрактной форме, а задачи, выраженные в наглядной или образной форме, стараются по возможности переводить в абстрактный план.

Мышление представителей геометрического типа характеризуется очень хорошо развитым наглядно-образным компонентом. Эти учащиеся испытывают потребность в наглядной интерпретации, обычно пытаются оперировать наглядными схемами, образами и представлениями даже там, где задача более легко решается рассуждением.

Рассмотрим задачу, которая может быть решена как аналитически, так и геометрически. Задача: «Сколько весит кирпич, если он весит столько же, сколько весит полкирпича плюс 1 кг? » Школьники с аналитическим типом мышления вводят неизвестное и решают уравнение:

x = 1 + x/2, где через x кг обозначен вес кирпича.

Решается данное уравнение с использованием элементарных алгебраических знаний, находится ответ: x = 2, и, следовательно, кирпич весит два килограмма. Если же представить условие задачи наглядно, то она решается c привлечением воображения. Представляем, что на одной чаше весов лежит кирпич, на другой – гиря весом в 1 кг и полкирпича. Можно сделать зарисовку, можно представить мысленно - и «видно», что если убрать с двух чашек по полкирпича, то на одной останется гиря 1 кг, на другой половина кирпича. Чашки весов останутся в равновесии, следовательно, половина кирпича весит один килограмм. И следовательно, кирпич весит два килограмма. В 5-м классе ученики знакомятся с уравнениями и с тем, как решать задачу с помощью уравнений. Однако, большинство учеников 5-го класса, решивших задачу, выберут способ решения «как на картинке». В старших классах большее количество учеников выберут решать с помощью уравнения ввиду развития левого полушария.

Так как специфика содержания такого учебного предмета, как алгебра, подразумевает ориентацию на учеников с левополушарным доминированием и аналитическим стилем мышления, то правополушарные дети с преобладанием синтетического стиля мышления, как правило, оказываются неуспешными. Очень часто про таких учеников можно услышать «ему не дано», «не способен к математике». По мнению А. И. Захарова, «левополушарный» акцент в обучении способствует развитию у детей неврозов [5]. Причиной невротизации детей является торможение активности ведущего полушария и перегрузка менее активного. Перегрузка чем бы то ни было вообще невротизирует детей: так, у детей дошкольного возраста может быть эмоциональная перегрузка от просмотра мультиков и загрузки нервной системы большим количеством образов, чем было бы комфортно. Но и неразумная перегрузка информацией может привести не только к развитию воли школьника (положительное влияние), но и к неврозу, хотя это и информация, лишенная эмоциональной окраски.

Математика подразделяется на алгебру и геометрию в 7 классе, но условно темы и разделы можно разделить ранее: например, решение уравнений – это, однозначно, «алгебра», а прямоугольный параллелепипед (несмотря на «страшное», а для кого-то и забавное слово), а также куб, окружность – понятия из раздела «геометрия». Хотя нахождение объема параллелепипеда, где грани выражены обыкновенными или десятичными дробями, тоже скорее алгебраическая задача. Алгебра и геометрия условно разделяются в средней школе, но темы переплетаются между собой (да и даже более различные предметы имеют точки «стыковки»). Правополушарные учащиеся более успешны в геометрии, благодаря ее пространственной природе. Изучение алгебры предполагает логически последовательное мышление, что является преимуществом левополушарных учащихся (или «правшей»). Для полноценной и гармоничной учебно-познавательной деятельности при обучении алгебре необходимо организовать взаимодополняющий и одновременно синхронный режим работы обоих полушарий головного мозга.

Ослабить доминанту левого полушария и обеспечить сбалансированное развитие обоих полушарий головного мозга при обучении понятиям алгебры возможно с помощью визуализации, предполагающей наличие как традиционно наглядных, так и специальных средств и приемов, позволяющих активизировать работу зрения с целью получения продуктивных результатов. Об этом будет написано ниже.

Визуализация учебного материала на уроках математики

По данным исследований, в среднем в памяти человека остается 1/4 часть (четверть) услышанного материала, 1/3 (треть) увиденного, 1/2 (половина) увиденного и услышанного, 3/4 (три четверти) материала, если ученик вовлечен в активные действия в процессе обучения. Для того, чтобы заинтересовать учеников, педагоги стараются часто визуализировать передаваемую информацию. Ведь действительно, чтобы понять, что представляет собой какой-либо предмет, необходимо представить его в сознании, рассмотреть с разных сторон. Визуализируя информацию, педагоги развивают у обучающихся воображение, а также это помогает лучше усваивать информацию правополушарным ученикам.

Формирование визуальной информации должно быть направлено на адекватное восприятие объектов и установленные между ними связи.  Визуализация – способ трансформации информации в зрительно воспринимаемую форму: диаграмму, график, рисунок, структурно-логическую схему, таблицу и т. д. Визуализация играет особую роль в учебно-познавательной деятельности, так как способна разрешить основное диалектическое противоречие познавательного процесса – противоречие чувственного и рационального. Основное качество продукта познания, полученного посредством визуализации – наглядность.

Наряду с признанием значимости принципа наглядности следует отметить, что нужно использовать наглядность не как цель, а как средство, стараться не перегружать учащихся конкретно-образным восприятием изучаемых закономерностей, чтобы не задерживать абстрактно-логическое мышление. Иными словами, нужно придерживаться «золотой середины», имея в виду, что в стандартных классах есть как правополушарные, так и левополушарные дети. В любом случае, для изучения математики нужна концентрация и некоторые усилия, чтобы понять изучаемую тему и успешно освоить программу. При чрезмерной визуализации предъявления учебного материала могут возникнуть и негативные последствия, а именно:

• - любой схематизм может привести к некоторой упрощенности понимания чего-либо (может возникнуть иллюзия, что для изучения предмета вполне достаточно изображенного материала);
• - подавление воображения ученика заданным извне визуальным образом изучаемого материала, препятствование формированию его собственного «внутреннего образа»;
• - затягивание фазы конкретно-образного мышления в ущерб формированию способности к абстракции.

С каждым годом использование демонстрационных мультимедийных пособий на уроках растет. Неотъемлемой частью становится использование таких средств и на уроках математики. При использовании мультимедиа-ресурсов на уроке учитель получает возможность гибко менять формы учебного взаимодействия с учащимися, а также применять новые формы учебного взаимодействия учащихся между собой. Педагогу не обязательно каждый урок делать запоминающимся и современным (есть и негативные стороны - снижение чувствительности восприятия, эмоциональное пресыщение), но применение мультимедийных пособий для некоторых уроков определенно имеет смысл. Может возникнуть такая ситуация, что определенная тема возникает в сознании обучающегося (особенно с правополушарным мышлением) в виде образов, моделей и отдельно взятых элементов, но может отсутствовать базовый теоретический материал. Эта проблема решается постепенным усердным и планомерным изучением материала (опираясь на некоторые волевые усилия ученика).

Наиболее простой способ создания мультимедиа ресурса реализуется при помощи использования программы Microsoft Office PowerPoint, реализующей приложения в виде мультимедиа презентаций. Именно эта программа получила широкое распространение в области образования, в том числе в школе. Также стоит отметить такие программы, как OpenOffice Impress, LibreOffice Impress, ProShowProducer [1].

В заключение хотелось бы добавить, что роль зрительных образов в мышлении человека была сравнительно недавно осознана и учеными-психологами. В. П. Зинченко ввел специальный термин «визуальное мышление». Сенситивным периодом для развития образных компонентов мышления является школьный возраст до 12–13 лет (6-7 класс). Исследования психологов показали, что представления о геометрических фигурах находятся в стадии прогрессивного развития до 15 лет. Поэтому образное мышление и его разновидность – пространственное мышление целесообразно наиболее активно развивать уже в 5– 6-х классах средней школы.

Соотнесение информации на уроках математики с практическим опытом

Любую информацию школьник может воспринять, только соотнося ее со своим личным опытом.  Хотя математика воспринимается обычно как абстрактная наука, в отличие от физики, где большую роль играет эмпирический опыт, тем не менее, полезно и даже необходимо на этапе изучения математики в средних классах школы находить аналогии с практическими задачами. Ниже будет рассмотрено два задания для соотнесения цифр с практическим опытом.

Задание 1. Рассмотрим задание по математике в шестом классе, тема урока «Простой процентный рост». Занятие начинается со вступления учителя, мотивирующего деятельности отнесением содержание урока к уже изученным задачам на проценты. В качестве пробного учебного действия ученикам предлагается задача о вычислении полной стоимости квартплаты за месяц с учетом пени за просроченный на много дней платеж. По условию, пеня начисляется в процентах от квартплаты за каждый день просрочки. Слайд с текстом задачи выводится на экран. Задача: «Какую сумму необходимо заплатить Ивану Ивановичу за ноябрь, если его квартплата составляет 8000 рублей в месяц и просрочена на два месяца дней, а пеня составляет 1% от суммы квартплаты за каждый день просрочки?»

Естественной проблемой у шестиклассников становится определение значения слова «пеня». Учитель предлагает учащимся подобрать синонимы, отталкиваясь от известных однокоренных слов и от смысла задачи. Работу учеников можно организовать как в индивидуальной форме, так и в группах. После «открытия» учащимися понятия «пеня» их вниманию представляется слайд с вопросным планом: «Для чего нужна квартплата? К чему приводит несвоевременная оплата коммунальных услуг?» На осмысление отводится еще некоторое небольшое время.

Подходя к этапу конструирования алгоритма, учитель просит нескольких учащихся изобразить на доске известные из предыдущих уроков формулы задач на проценты – например, как найти один процент от суммы квартплаты. Далее учитель предлагает сократить количество дней просрочки в условии задачи до одного и записать выражение для нахождения суммы платежа без дальнейших вычислений. На доске (и в тетрадях, причем в некоторых раньше, чем на доске) появляется выражение: 8000 + 8000 ∙ 0,01. Далее учащимся предлагается составить подобные выражения и для двух и трех дней просрочки и упростить их. На доске появляются выражения:

8000 + 8000 ∙ 0,01 + 8000 ∙ 0,01 = 8000 ∙ (1 + 0,01 + 0,01);

8000 + 8000 ∙ 0,01 + 8000 ∙ 0,01  + 8000 ∙ 0,01 = 8000∙ (1 + 0,01 + 0,01 + 0,01).

Учитель просит записать выражения в скобках короче, или иначе, как можно эти выражения упростить. После восстановления в памяти, как связаны умножение и сложение, суммы для двух и трех дней просрочки записываются соответственно как 8000 ∙ (1 + 2 ∙ 0,01) и 8000 ∙ (1 + 3 ∙ 0,01). Наиболее наблюдательные ученики уже заметили появление коэффициента перед 0,01. Далее учитель подчеркивает на доске соответствующие коэффициенты. И переходим к выводу, что сумму для 60-ти дней просрочки (два месяца), соответственно, можно записать как 8000 ∙ (1 + 60 ∙ 0,01).

Задание 2. Рассмотрим задание по математике в пятом классе, тема «Округление десятичных дробей». Учащимся предлагается вспомнить или найти информацию, сколько человек проживает в городе. Например, население Санкт-Петербурга по данным на 2025 год - 5 652 922 человека Но каждый день эта цифра подвергается изменениям (предлагается подумать, почему оно может меняться даже ежедневно). В средствах массовой информации также часто фигурируют приблизительные цифры. На доске появляется такая запись приблизительного населения города: 5,7 млн человек. Ученикам предлагается вспомнить, как именно такое число можно записать более подробно: 5 700 000. Так как число жителей в городе не остаётся постоянным, то цифры единиц, десятков и сотен в числе заменены нулями. Когда знание точного числа не требуется, цифры в разрядах единиц, десятков и других разрядах можно заменять нулями. Затем учитель пишет на доске, обращаясь к классу, а ученики в тетрадях: округленное значение числа 5 652 922 до десятков, до сотен, до тысяч, до десятков тысяч, до сотен тысяч, до миллионов. Округление производится последовательно до каждого из перечисленных разрядов согласно общему правилу [2]. После этого практический навык округления переносится с натуральных чисел на десятичные дроби и далее закрепляется на практике.

При последовательном ответе на поставленные вопросы у учащихся происходит осмысление практических аспектов ситуации и складывается еще один фрагмент миропонимания, важный для взросления (а стоит упомянуть, что не все взрослые владеют такими вопросами, к сожалению). Формируется видение того, зачем необходимо решение подобных задач и дальнейшая работа становится осознанной.

Литература

1. Визуализация на уроках математики / Чудаева Т.Д. // Научный альманах, 2016 № 11-3.

2. Математика 5 класс. В 2 частях. Ч.1 / Герасимов В.Д., Пирютко О.Н., Лобанов А.П //. Минск: Адукацыя i выхаванне, 2017– 168 с.

3. Межполушарное распределение функций / Кураев Г. А., Пожарская Е. Н., Глумов А. Г. // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. – 1996. – № 2. – С. 56–63.

4. Психология математических способностей школьников. / Крутецкий В.А. // М.: Просвещение, 1968.

5. Психотерапия неврозов у детей и подростков / Захаров А.И. // Л.: Медицина, 1982. – 236 с.