Урок - проект «Правильные многогранники» (10 класс)

Автор: Субботина Елена Владимировна

Организация: МОУ СОШ № 7 им. Героя Советского Союза А.С. Трынина

Населенный пункт: Саратовской область, г. Ртищево

Цель и задачи урока:

• Повышение мотивации к изучению математики, формирование основных общематематических понятий.
• Развитие исследовательских умений, умения выявлять проблемы, собирать информацию, строить гипотезы, обобщать и систематизировать полученные данные.
• Развитие коммуникабельности, умения работать в коллективе, отстаивать свою точку зрения.

 

1. Этап мотивации

Учитель: Здравствуйте ребята. Посмотрите друг на друга, улыбнитесь. Девизом нашего урока предлагаю слова древнегреческого философа и математика Фалеса Милетского.

Давайте сейчас вместе их произнесём. Я задаю вопросы, а вы все вместе отвечаете на них. (Обучающиеся хором повторяют выделенные слова)

- Что есть больше всего на свете? – Пространство.

- Что быстрее всего? – Ум.

- Что мудрее всего? – Время.

- Что приятнее всего? – Достичь желаемого.

Фалес Милетский

Сегодня я желаю каждому из вас достичь тех целей, которые вы поставите перед собой.

Учитель: Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. «Правильных многогранников вызывающе мало, - писал Льюис Кэрролл, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук». В течение многих веков математики проявляли живейший интерес к многогранникам. Интерес к ним обусловлен не только их красотой и оригинальностью, но и большой практической ценностью. Сегодня мы с вами второй урок будем работать над проектом «Правильные многогранники». Участвуя в данном проекте, попадаешь в мир красоты. Так что же представляют собой эти столь совершенные тела? И возможно ли обойтись без многогранников? На эти и многие другие вопросы нам предстоит ответить. Давайте вспомним: Какой многогранник называется правильным?

Ученик: Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – одинаковые правильные многоугольники, в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер, а соседние грани образуют равные углы.

Учитель: Сколько видов правильных многогранников существует? И какой вид многогранника исследует ваша группа?

Ученик 1: На прошлом уроке мы провели исследование по определению количества видов правильных многогранников и пришли к выводу, что правильных многогранников ровно пять. Мы разделились на группы с целью изучения их свойств. Наша группа исследует правильный тетраэдр.

Ученик 2: Наша группа работает с правильным октаэдром.

Ученик 3: Мы изучает правильный икосаэдр.

Ученик 4: Мы исследуем свойства гексаэдра или всем нам известного куба.

Ученик 5: Наша группа работает с красивым многогранником – правильным додекаэдром.

Учитель: Давайте вспомним основополагающий вопрос, гипотезу, предмет исследования, цели и задачи проекта.

Ученик: Основополагающий вопрос проекта: В чём состоит уникальность правильных многогранников как пространственных тел?

Ученик: Мы выдвинули гипотезу: правильные многогранники – гармоничные и выгодные тела, их широко используют природа и человек.

Ученик: Предмет исследования: правильные многогранники.

Ученик: Цель проекта: Расширить круг знаний о правильных многогранниках.

Изучить практическое применение правильных многогранников в окружающем нас мире.

Ученик: Задачи исследования:

• Изучить особенности строения правильных многогранников и их свойств.
• Найти примеры правильных многогранников в окружающей природе.
• Изучить исторические факты, связанные с многогранниками.
• Изготовить коллекцию правильных многогранников с использованием развёрток и в технике оригами.

Учитель: Какие методы исследования вы используете?

Ученик:

• Поиск, сбор и обработка информации по теме проекта.
• Исследовательский.
• Моделирование и конструирование.

Учитель: Ребята, мы продолжаем работать над проектом по нашему плану, который составили. Давайте напомним его.

Ученик: Виды правильных многогранников и их определения.

1. Вывод и доказательство формулы Эйлера.
2. Исторические факты. Платоновы тела.
3. Правильные многогранники в природе.
4. Правильные многогранники в искусстве.
5. Модели правильных многогранников.

Учитель: Что являются основными характеристиками многогранников?

Ученик: Основными характеристиками правильных многогранников являются число и вид граней, число вершин и число рёбер.

Учитель: Ребята, чтобы выяснить, как связаны между собой число граней, вершин и рёбер правильных многогранников, выполните исследовательскую работу: для этого подсчитайте количество элементов правильных многогранников и заполните таблицу.

Учитель: А теперь давайте представим выполненную работу на доске. Предлагаю по очереди выйти представителей каждой группы и внести результаты в таблицу, озвучивая их. Начните свой ответ с определения правильного многогранника.

1 группа «Правильный тетраэдр»

1. Названия правильных многогранников пришли  из Древней Греции, в них  указывается число граней. Тетраэдр - от греческого tetra («тетра»)– четыре и hedra («эдра») – грань.

Правильный тетраэдр составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180º.

2 группа «Правильный октаэдр»

1. Октаэдр в переводе с греческого okto («окта») – восемь и hedra («эдра»)  – грань.

Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240º.

3 группа «Правильный икосаэдр»

1. Икосаэдр в переводе с греческого ico («икоса») – двадцать и hedra («эдра») – грань.

Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300º.

4 группа «Гексаэдр»

1. Гексаэдр (куб) происходит от греческого hex («гекса») — шесть и hedra  («эдра») — грань.

Правильный гексаэдр или куб составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270º.

5 группа «Правильный додекаэдр»

1. Додекаэдр от греческого dodeka («додека») – двенадцать и hedra («эдра»)  – грань.

Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324º. Для правильного додекаэдра мы подсчитали число граней, рёбер, получили следующие результаты

Результаты на плакате (на доске)

Учитель: Ребята сравните две последние колонки и какой вывод можно сделать.

Ученик: В правильном многограннике сумма числа граней и вершин больше числа рёбер на 2.

Учитель: Верно, в правильном многограннике сумма числа граней и вершин на 2 больше числа рёбер.

Запишите в тетрадь формулу В + Г – Р = 2, которую называют формулой Эйлера в честь швейцарского математика Леонардо Эйлера, который жил в 18 веке и большую часть своей жизни работал в России.

Учитель: Самое удивительное в этой формуле, что она верна не только для правильных многогранников, но и для всех выпуклых многогранников.

Откройте учебник на странице 62. Прочитайте и запишите в тетрадь теорему Эйлера.

Запишите план доказательства в тетрадь.

Ученик: Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство

В - Р + Г = 2, где В - число вершин, Р - число ребер и Г - число граней данного мно­гогранника.

Доказательство. Для доказательства этого равенства представим поверхность данного многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим (вырежем) од­ну из его граней и оставшуюся поверхность растянем на плоскости. Полу­чим многоугольник (образованный ребрами удаленной грани многогранника), разбитый на более мелкие многоугольники (образованные остальными гранями многогранника).

Заметим, что многоугольники можно деформировать, увеличивать, уменьшать или даже искривлять их стороны, лишь бы при этом не происходило разрывов сторон. Число вершин, ребер и граней при этом не изменится.

Докажем, что для полученного разбиения многоугольника на более мелкие многоугольники имеет место равенство

(*) В - Р + Г ' = 1,

где В – общее число вершин, Р – общее число ребер и Г ' – число многоугольников, входящих в разбиение. Ясно, что Г '= Г – 1, где Г – число граней данного мно­гогранника.

Докажем, что равенство (*) не изменится, если в каком-нибудь многоугольнике данного разбиения провести диагональ (рис. а). Действитель­но, после проведения такой диагонали в новом разбиении будет В вершин, Р+1 ребер и количество многоугольников увеличится на единицу. Следовательно, имеем В - (Р + 1) + (Г '+1) = В – Р + Г '.

Пользуясь этим свойством, проведем диагонали, разбивающие входя­щие многоугольники на треугольники, и для полученного разбиения пока­жем выполнимость равенства (*) (рис. б). Для этого будем последо­вательно убирать внешние ребра, уменьшая количество треугольников.

При этом возможны два случая:

а) для удаления треугольника ABC требуется снять два ребра, в на­шем случае AB и BC;

б) для удаления треугольника MKN требуется снять одно ребро, в нашем случае MN.

В обоих случаях равенство (*) не изменится. Например, в первом случае после удаления треугольника граф будет состоять из В – 1 вершин, Р – 2 ребер и Г ' – 1 многоугольника:

(В - 1) - (Р + 2) + (Г ' – 1) = В – Р + Г '.

Таким образом, удаление одного треугольника не меняет равенство (*). Продолжая этот процесс удаления треугольников, в конце концов, мы придем к разбиению, состоящему из одного треугольника. Для такого раз­биения В = 3, Р = 3, Г ' = 1 и, следовательно, B – Р + Г ' = 1. Значит, равенство (*) имеет место и для исходного разбиения, откуда оконча­тельно получаем, что для данного разбиения многоугольника справедливо равенство (*). Таким образом, для исходного выпуклого многогранника справедливо равенство В - Р + Г = 2. Теорема доказана.

Учитель: Докажите дома теорему Эйлера другим способом (по учебнику).

Учитель: Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне.

В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками.

Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «Платоновы тела».

Учитель: Ребята, какие исторические факты, связанные с многогранниками вы нашли дома? Предлагаю поделиться найденной информацией.

1 группа «Правильный тетраэдр»

Греческий философ Платон писал о правильных многогранниках в своём трактате Тимей, где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Огонь Платон сопоставил тетраэдру. Он считал, что жар огня ощущается чётко и остро как маленькие тетраэдры.

2 группа «Правильный октаэдр»

Философ Платон сопоставил воздух октаэдру. Он считал, что воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать.

3 группа «Правильный икосаэдр»

1 ученик: Древнегреческий учёный Платон сопоставил воду правильному икосаэдру. Вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков, к которым ближе всего икосаэдры.

4 группа «Гексаэдр»

Философ Платон землю сопоставлял кубу. В противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, так как они наиболее устойчивые.

5 группа «Правильный додекаэдр»

Древнегреческий философ Платон сравнил додекаэдр с Вселенной. Он сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца».

Ученик:

В начале 80-х гг. московские инженеры Валерий Макаров и Вячеслав Морозов выдвинули интересную научную гипотезу. Они считали, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро - додекаэдровую структуру Земли Она проявляется в том, что в земной коре как бы  проступают проекции вписанных в земной шар правильных  многогранников: икосаэдра и додекаэдра.

Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; в 62 вершинах и серединах рёбер многогранников наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находится озеро Лох-Несс, которое расположено в Шотландии и знаменито легендой о Лох-Несском чудовище. Также считается, что в этих точках расположен Бермудский треугольник, который находится в Атлантическом океане, где происходят таинственные исчезновения морских, воздушных судов и другие аномальные явления.

Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе.

Учитель: В живой природе в микромире многогранники встречаются в виде вирусов и бактерий - простейших организмов.

Мир кристаллов - мир не менее красивый, разнообразный, зачастую не менее загадочный, чем мир живой природы. Важность кристаллов для геологических наук состоит в том, что подавляющая часть земной коры находится в кристаллическом состоянии. В естественной среде правильные многогранники можно встретить в виде кристаллов (минералов).

Ребята, предлагаю выполнить следующую работу. Из большого многообразия простейших организмов и минералов выбрать те, которые имеют форму вашего правильного многогранника. Учитель: Давайте посмотрим, встречаются ли правильные многогранники в природе? Предлагаю каждой группе поделиться найденной информацией.

Учитель: Мы сейчас убедились, что правильные многогранники окружают нас всюду: их создаёт сама природа. Люди также интересуются этими формами.

Художники разных эпох проявляли интерес к изучению и изображению многогранников.

Ребята, дома вы должны были, используя различные источники, найти применение правильных многогранников в искусстве.

1 группа «Правильный тетраэдр»

Ученик: Мауриц Корнелис Эшер (1898—1972) — голландский художник, в некотором роде является отцом математического искусства. Правильные многогранники имели особое место в его работах. 

Графические фантазии Эшера вовлекают зрителя в противопоставление иллюзии и реальности. В работе «Двойной планетоид» Эшер использовал тетраэдры. Здесь он попытался изобразить параллельный мир (иллюзию) — реальность, существующую каким-то образом одновременно с нашей, но независимо от неё.

2 группа «Правильный октаэдр»

Ученик: Во многих работах Эшера можно встретить фигуры, полученные объединением правильных многогранников. Наиболее интересной среди них является гравюра «Звезды», на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы  Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, наверное, она не была бы столь исключительна. Но он по какой-то причине,  поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, обеспечив ее незаурядность и уникальность. Таким образом, нам необходимо отвлечься от привычного восприятия картины и попытаться взглянуть на нее свежим взором, чтобы представить ее целиком.

5 группа «Правильный додекаэдр»

Ученик: Сальвадор Дали (1904—1989) — яркий и парадоксальный испанский художник использовал математические идеи в некоторых своих картинах. На картине «Тайная Вечеря» изображён Христос со своими учениками. Все они облачены в белые одежды, так как белый цвет символизирует чистоту души, честность и искренность. Посмотрев на картину, можно заметить, что они находятся на верхнем этаже здания, что напрямую связанно с величием происходящего собрания. Фон картины — огромный прозрачный додекаэдр. Форму додекаэдра, по мнению древних, имела Вселенная, т. е. они считали, что мы живём внутри свода, имеющего форму поверхности правильного додекаэдра.

Учитель: Чтобы в полной мере ощутить красоту Платоновых тел, надо уметь моделировать и конструировать многогранники.

Ребята, для того чтобы создать модель многогранника, что нужно сначала изготовить?

Ученик: Надо начертить развёртку правильного многогранника.

Учитель: Для изготовления моделей правильных многогранников дома вы использовали различные развёртки. Процесс создания многогранников из бумаги – процесс увлекательный, многогранники можно создать в технике оригами. Предлагаю посмотреть мастер-класс по созданию модели тетраэдра в технике оригами и попробовать повторить.

Учитель: Ребята, наш урок-проект «Правильные многогранники» подходит к концу. Давайте подведём итоги. Что мы узнали? Подтверждена ли гипотеза нашего проекта.

Ученик: Работая над проектом, мы выяснили, что существуют пять правильных многогранников: тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб, додекаэдр.

Ученик: Исследуя основные характеристики правильных многогранников, мы вывели формулу Эйлера: в правильном многограннике сумма числа граней и вершин больше числа рёбер на 2.

Ученик: Мы убедились, что в живой природе в микромире встречаются правильные многогранники.

Ученик: Многогранники также встречаются и в неживой природе: в виде кристаллов (минералов).

Ученик: Правильные многогранники нашли своё отражение в живописи известных художников.

Ученик: Нами была подтверждена гипотеза: правильные многогранники – гармоничные и выгодные тела, их широко используют природа и человек.

Ученик: В рамках проекта мы изучили различные способы изготовления правильных многогранников и применили их на практике. Я думаю, что эти модели можно использовать на уроках математики, геометрии.

Учитель: Верно, на уроках математики модели правильных многогранников пригодятся. Но даже если, при виде моделей кто-нибудь спросит: «Какая от них польза?». На это можно ответить так: «А разве всё красивое полезно?». Впрочем, можно усмотреть известную пользу, которую приносят модели в качестве декоративных украшений.

Учитель: Ребята, давайте теперь проведём самоанализ своей работы, используя карту самооценки.

Учитель: А теперь запишите домашнее задание.

Урок окончен. Спасибо.

 

 

Список литературы и интернет – источников

1. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М: Аванта плюс, 2002.

2. Ворошилов А.В. Математика и искусство. - М. просвещение, 1992. – 352

3. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Часть 3 – М: Баласс,1988.

4. Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. Учебное пособие для V – VI классов. – М: Мирос 1992.

5. Л. С. Атанасяна, В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева и других. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10—11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни. - М.: Просвещение, 2019.

6. История математики http://mschool.kubsu.ru/

7. Библиотека электронных учебных пособий http://www.ega-math.narod.ru/

8. Статьи по математике http://dondublon.chat.ru/math.htm

9. «В мире науки» http://www.mccme.ru/

1. file0.doc (237,5 КБ)

Опубликовано: 26.05.2025