Теорема Пифагора в коллективной анимации обучения

Автор: Дедушка Александр Иванович

Организация: МБОУ СОШ №20

Населенный пункт: Ставропольский край, г. Ставрополь

Не учи тому, что для ученика, пока он это учит,

 еще не нужно, и не учи тому, что для ученика

 впоследствии не будет более нужно!..

Дистервег

Мне кажется, вы согласитесь, коллеги, что бичом современной образовательной системы является ее практически полная оторванность от жизни, что 99 % процентов всего того, что изучается в школе, не имеет никакого отношения к конкретным ученикам, к их настоящей и будущей жизни.  Следствием этого является полное господство «садомазохистской» образовательной парадигмы, когда бедные детки вынуждены «грызть гранит науки» не из-за того, что он такой «вкусный и питательный», а насильственно – под прямым или косвенным принуждением – под давлением родителей или из-за страха не сдать ГИА и ЕГЭ.

И математика в этом плане, будучи «королевой всех наук», является еще и «королевой абстрактности» - так как в том виде, в каком она преподается в школе – наиболее удалена от интересов учащихся.

В самом деле, обычному человеку в жизни вполне достаточно четырех арифметических действий, вынесенных из начальной школы – сложению, вычитанию, умножению и делению.  Очень редко может понадобиться возведение в степень и извлечение корней. Я уж не говорю о тригонометрии,  дифференциальном и интегральном исчислениях, которые даже во время изучения в школе выглядят как неуместная экзотика с точки зрения реальной применимости в жизни.

Согласитесь, что так не должно быть. Не могут быть все высшие разделы одной из главных школьных дисциплин проходить «мимо» жизненных интересов учеников и потому попадать в принудительную дидактическую логику садомазохистской учебной парадигмы. Такая ситуация – катастрофа для любого предмета с точки зрения смысла его существования в образовательной системе.

В последнее время в образовательном пространстве России, хочется верить, все увереннее набирает силу метод коллективной анимации обучения, являющийся главным методом педагогики служения в ее дидактической части.  Этот метод как раз и пытается снять это кричащее и ужасающее противоречие между процессом обучения и интересами учащихся, старается преодолеть навязанную образованию функцию подготовки к ЕГЭ и вернуть ему его главную образовательную функцию – функцию обучения человеческой жизни. И математика здесь может сыграть свою ничем не заменимую роль, а не оставаться «холодной королевой» заоблачных высот научной абстракции, непонятно зачем туда забравшейся и непонятно зачем нуждающейся в изучении.

Наверно, не все разделы в математике должны подвергаться коланимации (коллективной анимации) даже с точки зрения экономии времени. Но какие-то главные, базовые ее положения и принципы, безусловно, в этом нуждаются, чтобы остаться не только в «ЕГЭшной» памяти учеников, но стать частью их убеждений, эмоций, волевых установок, реального жизненного опыта и закладываемого на всю жизнь энергетического потенциала.

Теорема Пифагора, пожалуй, как раз и относится к наиболее главным математическим знаниям, связующим звеном между геометрией и алгеброй, через которую осуществляется выход к высшим разделам математики – тригонометрии, дифференциальному и интегральному исчислениям.

Давайте присмотримся, как же ее можно подвергнуть коллективной анимации, сделать близкой реальным жизненным потребностям учащихся, подросткам-восьмиклассникам, а затем и старшеклассникам.

Сразу хочу оговориться, что автор, не будучи профессиональным математиком,  не претендует на точные научные формулировки. Его цель – привлечь внимание настоящих профессионалов к проблеме оторванности математики от реальной жизни и побудить их к решению этой проблемы.

Итак, сама теорема, как известно, звучит так:

 

 Естественно, в собственно математической части объяснения теоремы учитель наряду с ее доказательствами приводит и конкретные примеры (напр.: 3²+4²=5²), и важнейшие зависимости. При том,  что - 

a   +   b  >  c

 a² + b² = c²

Теперь, когда ученики усвоили основные закономерности и следствия, вытекающие из теоремы Пифагора, самое время переходить к ее коланимационной проработке, в ходе которой теоретические знания должны связаться настоящей жизнью учеников.

Давайте представим, говорит учитель, что a,b и c – это не геометрические величины, а желания трех, скажем, друзей, решающих как провести свободное время. Допустим, один предлагает пойти и погулять в городском парке – это желание a. Второй не соглашается и предлагает всей троице пойти в кино – это желание b. А третий предлагает просто пойти всем троим к нему домой и провести время у него – это желание c.

Казалось бы, что в такой ситуации делать: как в той басне о лебеде, раке и щуке – каждый тянет в свою сторону, и ситуация заходит в тупик.  И ведь она действительно неразрешима, если остаться каждому при своем, если каждый будет настаивать на своем собственном желании. Но ведь мы не зря оговорились, что это три друга, которые готовы идти навстречу друг другу ради совместной дружбы…

Неожиданно тот, с «гипотенузным» желанием c, предлагает решение: давайте, мол, все пойдут к нему домой, где сначала они посмотрят по его домашнему кинотеатру недавно скаченный только что вышедший  фильм, а потом посидят в его саду, на свежем воздухе, где можно пожарить сосиски в небольшом мангале. Не без колебаний – но это решение принимается всеми троими. Тот, кто хотел посмотреть кино, конечно же, желал бы посидеть в кинотеатре и увидеть фильм на большом экране, но ради дружбы можно согласиться и на домашний кинотеатр. Тот, кто хотел погулять в парке, конечно, не увидит столько развлечений, но свежий воздух будет и в саду, а всякие вкусности паркового фастфуда пусть заменят жареные сосиски…

И при чем тут теорема Пифагора, спросите вы?.. Вот – самое время к ней обратиться и взглянуть на происшедшее с точки зрения ее математических и геометрических зависимостей.

Сравним сначала желания a и b. Во-первых, они не должны были быть противоположными. Если бы один хотел посмотреть какой-нибудь боевик с горой кровавых трупов, а второго бы от этого тошнило – ситуация не поддавалась бы разрешению: противоположные желания исключали бы друг друга. Но в нашей ситуации желания («погулять в парке» и «сходить в кино»)  не противоположны, а пересекаются под более-менее «прямым углом» - как катеты в прямоугольном треугольнике. Значит, возможность разрешения ситуации есть.

Теперь обратимся к желанию c – в нашем случае решающему, так как именно оно и нашло выход из ситуации.

С точки зрения математики c > а и c > b; это означает, что внутри c есть ресурс к исполнению и желания a, и желания b, но недостаточно ресурса для их совместного исполнения, так как, как мы уже указывали: a + b > c. Это верно и точки зрения геометрии: если представить себе гипотенузу c, то в ней уложится и длина катета a, и длина катета b, но совместная их длина будет больше.

Теперь мы переходим к главному. К одному из волшебств математики, которая, часто сама того не осознавая, отражает важнейшие закономерности не только мира чисел, но и гораздо более тонких и с гораздо большим трудом поддающихся точному счету материй.

Говоря о возможности исполнения тех или иных желаний, мы часто употребляем фразу: «все зависит от степени твоего (моего, его…) желания». Я выделил здесь ключевое слово. «Степень желания» - это не просто его удвоение или утроение – то есть количественное увеличение, это выведение его на новый уровень, его «умножение» на само себя, которое дает совершенно новый качественный результат. В нашем случае – это «квадрат желания», которое в ситуации Пифагоровского прямоугольного треугольника и дает этот чудесный результат: a² + b² = c²

Ситуация разрешилась, когда каждый из друзей возвел свое желание в квадрат, и тогда сложение этих желаний дало эффект совершенной гармонии. То есть каждый помножил свое желание на желание быть вместе (и эти желания должны быть по силе равны), тогда сложение полученных в результате «квадратов желания» произвело этот удивительный эффект, связанный с переходом в новую систему измерения этих желаний, когда они стали соизмеримы.

Фактически мы здесь можем говорить о своеобразном «интегрировании» желаний, хотя в восьмом классе вводить понятия интегрального исчисления (частным случаем которого является теорема Пифагора) еще наверно рановато. Можно ограничиться вполне понятным для восьмиклассников следующим геометрическим объяснением.

Если представить желание в виде отрезка, то, разнонаправленные,  они могут пересечься только в одной точке. А если представить квадраты этих отрезков как геометрические фигуры, то они могут накладываться друг на друга большей частью своей площади. Вот и получилось, что квадратные «площади желаний» отрезков двух катетов точно уложились в квадратной «площади желания» отрезка гипотенузы.

Ну что – кажется, нам удалось провести параллель между теоремой Пифагора и интересами учеников путем выведения ключевого понятия – «квадрат желания». Осталось все закрепить и наглядно продемонстрировать в обнимающем всех учеников класса ключевом коланимационном закреплении.

Для этого вместе с ребятами можно составить список из самых распространенных желаний. Он может выглядеть так:

• Пообщаться в соцсетях
• Послушать музыку
• Поесть мороженное
• Заняться фитнесом
• Сходить в боулинг
• Пострелять в тире
• Пожарить шашлыки
• Обсудить последние новости и сплетни
• Порыбачить
• Сходить в кино
• Поиграть в компьютерные игры
• Попеть в караоке
• Обсудить модную одежду
• Позаниматься в качалке
• Помочь друг другу в учебе
• Сходить на концерт
• Попеть под гитару
• Обсудить личные секреты
• Посидеть в кафе
• Покататься на катке
• Сходить в Церковь
• Спортивные игры (футбол, волейбол) и т.д.

 Затем весь класс можно разделить на тройки из самых близких друзей. Пусть каждая тройка по жребию вытащит три совершенно случайных желания и после обсуждения представит их разрешение по принципу суммы «квадратов желания» теоремы Пифагора. Представить это можно в виде небольшой сценки, где друзья (с разделением друг друга на «катеты» и «гипотенузу») сначала формулируют свои желания, а затем, возводя их в квадрат и суммируя, приходят к удовлетворяющему всех решению. Тем, кто не справился с заданием, нужно помочь, - что называется, «всем миром» находя разрешение сложным случаям.

Кстати, по поводу последних. Что - если среди желаний появятся оные с отрицательной нравственной направленностью – скажем, покурить, попить пивка или набить морду какому-нибудь недругу? (Полностью безнравственные ситуации, типа употребления наркотиков или половой распущенности без особой педагогической необходимости, думаю, рассматривать не стоит.)

Здесь мы столкнемся с еще одним «волшебным» свойством математики, а именно – квадрата числа. Что даже отрицательное число, возведенное в квадрат, дает положительный результат. То есть (-a)² = a² , а значит и итоговая формула остается без изменения: (-a)² + b² = c².

Что это может означать практически в ситуации трех друзей? Допустим, один и вправду хочет подраться с повздорившим с ним старшеклассником, второй желал бы посмотреть боевик, а третий позаниматься своими любимыми спортивными единоборствами. И тогда этот третий (вы поняли уже, что он и есть «гипотенуза»), приглашает обоих друзей к себе на тренировку, где предлагает своему драчливому другу «потренироваться» к предстоящей драке и себя в качестве спарринг-партнера. Второму предлагается при этом быть объективным наблюдателем – как будто бы он смотрел все происходящее по телевизору.

В ходе поединка выясняется, что драчливому другу далеко до настоящей боевой формы, ему для этого нужно много заниматься. Второй получил большой эмоциональный заряд, наблюдая поединок не по телевизору, а между своими друзьями – и также советует первому не лезть на рожен. Но в самом большом выигрыше остался друг-гипотенуза, все это придумавший: и бессмысленную драку предотвратил, и сам позанимался, и друзей привлек к занятиям. А все потому, что очень хотел помочь друзьям («квадрат желания»).

По этому же алгоритму может разрешиться и ситуация: (-a)² + (-b)² = с², когда у обоих друзей-катетов желания имеют отрицательную нравственную направленность. Правда, это потребует еще большей изощренности от «гипотенузы», но опять же «квадраты желания» должны помочь и в этой ситуации. 

А вот ситуация (-a)² + (-b)² = (-c)², хотя теоретически возможна, но ее под силу разрешить, видимо, только Богу. Когда-то – еще в советское время – слышал о таком происшествии. Трое подростков решили покуролесить от души: один при этом хотел накуриться, другой напиться, а третий посмотреть то ли порнофильм, то ли какой-то ужастик. Когда все трое пришли к одному из них домой (гипотенуза - е-мое!), то в разгаре всего этого бедлама домой вернулся пьяный отец этого горе-сынишки. Ну, тот и устроил всем «квадраты» их желаний.  Заставил всех одновременно выкурить по несколько сигарет, затем смешал водку с табаком и принудил выпить, и в довершении – каждого выпорол ремнем по голой заднице. Порнофильм и фильм-ужасов в одном флаконе! Очумелые подростки, наверно,  надолго запомнили этот вариант разрешения теоремы Пифагора.

На этом можно было бы и подвести итоги нашему исследованию, если бы не одно но…

Теорема Пифагора имеет прямое отношение ко всем последующим разделам алгебры вплоть до дифференциального и интегрального исчислений. Следующая важнейшая область ее применения – это тригонометрия. Это вновь базовый раздел алгебры, поэтому есть смысл вновь обратиться к коллективной анимации со старшеклассниками уже на новом методическом и духовном уровне.    

Обратите внимание на одну характерную особенность. Поскольку sin α и cos α всегда меньше единицы (за исключение положений, когда они равны единице), то их можно рассматривать как своеобразный «понижающий» коэффициент. При умножении на который, разумеется, длина гипотенузы уменьшается до длины одного из катетов.

Вспомнив наши предыдущие коланимационные построения, можно сказать следующее: чтобы другу с желанием c удовлетворить друзей с желаниями a и b, ему нужно умножить свое желание на «понижающий» коэффициент их желаний, или их эгоизмов, ведь любой «угол» в отношениях между друзьями неизбежно возникает при разной направленности их желаний. И «примиряющая» гипотенуза вынуждена это учитывать.

Но это еще не все. Вернемся в математический контекст. Давайте внимательно проследим за ростом угла α при последовательном его переходе из сектора I до сектора IV – что будет при этом происходить с его синусом и косинусом.

В секторе I при росте угла α  косинус постепенно уменьшается, а синус напротив постепенно растет, достигая максимальной единицы при α = 90°, то есть зависимость между синусом и косинусом обратная – при росте одного, уменьшается другой.

В секторе II при дальнейшем росте угла уменьшаются одновременно и его синус и косинус. Так что при α = 180°,  синус уменьшится до нуля, а косинус до минус единицы.

В секторе III при дальнейшем уменьшении синуса до минус единицы, косинус же, напротив, начинает расти пока еще в своих отрицательных величинах. 

И наконец в секторе IV и косинус и синус опять попадают в прямую зависимость друг от друга – они оба начинают расти.

А теперь, друзья и коллеги, новый раунд коланимации. На этот раз уже со старшеклассниками – значит, на более высоком уровне. Им уже впору задумываться о семейной жизни, поэтому и мы попробуем перенести описанные выше тригонометрические закономерности в семейный контекст. Ведь между мужем и женой то и дело возникают различные «углы», которые в свою очередь вызваны эгоизмом одной из сторон, а чаще взаимным эгоизмом.

Итак, в нашей системе координат положим по оси абсцисс эгоизм мужа, а по оси ординат эгоизм жены, которые после нулевой точки пересечения переходят в свои противоположности  - соответственно в альтруизмы (самопожертвования) мужа и жены.

Угол α на нашей окружности – это «угол», вызванный противоречиями их эгоизмов – он будет последовательно расти, проходя различные точки на окружности (отмеченные латинскими буквами), которые мы будем последовательно рассматривать.

Эгоизмы, впрочем, мы условно назвали «эгоизмами». По большому счету это те их желания (мы их рассматривали в первой части нашего исследования) или «хобби», которые могут укреплять семейную жизнь, а могут и разрушать ее, если один из супругов предается им в ущерб интересам другого. У нас, кстати, есть и формула устойчивой семейной жизни, та же самая теорема Пифагора, которая в этом виде носит наименование основного тригонометрического тождества:

                                                   sin α + cos α  = 1

В этой формуле sin α- это эгоизм жены, а cos α - это эгоизм мужа. Как мы помним, чтобы сохранить устойчивость семьи и жена и муж должны возводить свои эгоизмы в квадрат, то бишь, умножать свои желания на желание сохранить семью. Итоговую единичку давайте назовем некоторой константой, или «постоянной» семейной жизни, которая не должна менять своего значения. Только при этом условии семья при различных модификациях эгоизмов не будет разрушаться.

Для большего приближения к реальной жизни давайте придумаем «легенды» их эгоизмам. Пусть он – это индивидуальный предприниматель, главное хобби (эгоизм) которого – это собираться с друзьями на построенной им даче (в хорошем месте – в лесу, на берегу реки), рыбачить там, охотиться, ну и заодно – увы! - предаваться горячительным напиткам.

Ну а она… А она пусть больше всего любит заниматься «шопингом» - какая женщина свободна от этой страсти?

Итак, все готовы отправиться в путешествие по четырем главам жизни этой воображаемой семейной пары? Давайте внимательно проследим – при каких условиях  им удастся сохранить свой семейный союз.

Начнем с точки A. Пусть это будет самое начало их семейной жизни. Смотрите -  он полностью реализует свой эгоизм, ее же эгоизм равен нулю. Так часто бывает. Она еще в эйфории влюбленности и готова полностью разделять все желания мужа, в том числе и его встречи с друзьями на даче.

Но так долго, как мы понимаем, продолжаться не может, вот и она начинает проявлять свой эгоизм – точка B. Начинает расти «угол противоречий» между супругами. Как он купируется? Очень просто. Уменьшением эгоизма мужа. Он вынужден, чтобы оплатить растущие финансовые аппетиты жены, больше работать и  меньше предаваться веселым гулянкам на даче. Помните – в первом секторе при росте синуса, косинус уменьшается – это хорошо видно на графике.

Наконец, шопоголические аппетиты жены достигают максимального размера (точка C) – она требует купить ей дорогущую  норковую шубу. И он идет на этот шаг, хотя ради этого вынужден перезанять кучу денег и – главное! – полностью отказаться от поездок на дачу (не до этого – нужно все время работать). При максимальном ее эгоизме, его эгоизм становится равным нулю.

Но дальше начинаются проблемы. (Мы переходим во второй сектор – точка D.) Из-за вынутых из обращения денег, косых взглядов партнеров по бизнесу, его дела идут все хуже и хуже, так что она вынуждена сокращать свои шопоголические аппетиты. Но даже их ему удовлетворять все труднее. Смотрите – он становится на «тропу альтруизма»: уже давно нет речи о гулянках с друзьями – он начинает потихоньку распродавать свою замечательную коллекцию удочек и ружей, даже отдавать в аренду свою дачку.

Точка  E – кульминация. Он разоряется. Она сводит свой эгоизм к нулю, но поздно – нужны деньги, чтобы оплатить долги и просто на что-то жить. И он решается на беспрецедентный шаг ради сохранения семьи. Проявив максимальный альтруизм – продает свою любимую дачу и спасает семью ценой пожертвования своим любимым хобби.

Но ситуация продолжается ухудшаться. (Третий сектор, точка F.) Ко всем бедам он еще и заболевает. Как сказал один острослов: «Квадрат желания пить пиво равняется необходимости пить лекарство от цирроза печени». Теперь пришла очередь и ей становиться на «тропу альтруизма». Разумеется, уже нет речи ни о каких новых покупках, более того – чтобы хоть как-то оплатить дорогостоящее лечение, она начинает распродавать накупленные в прошлый «шопоголический» период вещи.  Кульминация ее самопожертвования – точка G. Она продает так полюбившийся ей подарок мужа – свою норковую шубу…

И ситуация начинает потихоньку выправляться. (Четвертый сектор – точка H.) Она еще многим жертвует ради выздоравливающего мужа, но он потихоньку начинает становиться на ноги – снова начинает зарабатывать, хотя уже и не как бизнесмен, а как наемный работник. И более того – может, с согласия жены, позволить себе редкие встречи с друзьями, но уже не на даче и, разумеется, без прошлых попоек.

В конце концов, наши муж и жена, пройдя все эти испытания,  должны вновь вернуться в первый сектор, где каждый может вновь проявить свои желания, но уже без эгоистических крайностей и с четким пониманием их взаимозависимости. А мы можем поздравить наших героев с постижением мудрости теоремы Пифагора с точки зрения семейной жизни.

Как вы понимаете, в реальном учебном процессе все вышеописанное – лишь теоретическая экспозиция. Теперь нужно переходить к коланимационной проработке усвоенных закономерностей. Так же как и в предыдущем случае составляется список «эгоизмов» с возможным их разделением на «мужские» и «женские» варианты. За основу, кстати, можно взять тот же список с учетом их «повзросления». Например:

«Мужские»: Охота Рыбалка Общение с друзьями Бани и сауны Корпоративы и вечеринки Спортивные игры Телевизор Общественная активность Посещение Церкви

«Женские»: Фитнес Болтовня с подругами Общение в соцсетях Путешествия Концерты Занятия искусством Курсы домоводства и дизайна Благотворительность Посещение Церкви

Теперь весь класс тем или иным способом разделяется на условные «семейные пары». Каждый в паре вытаскивает  случайным выбором соответственно «мужской» и «женский» «эгоизм» и далее должны показать историю их «семейной жизни», опираясь на аналогии теоремы Пифагора. Для удобства в качестве контрольных можно взять те же самые «точки экстремума», которые мы уже рассматривали.

Поскольку это работа довольно масштабная, то ее желательно продолжить и дома с выходом в тот или иной итоговый творческий продукт (сценка, скетч, фильм, сочинение, стихотворение, поэма, песня, рассказ, притча и т.д.) Само рассмотрение этих творческих семейных сценариев должно вылиться во что-то веселое, но в то же время и поучительное. Так можно добиться не только интегрированности предметов (математики и искусства), но – главное! – интегрированности математических знаний в самую глубину человеческой личности, когда они становятся неотъемлемой частью ее знаний, убеждений, чувств, волевых установок, творческих проявлений и энергетического потенциала.

А это и является по большому счету – главной целью коллективной анимации обучения, в нашем случае, применительно к теореме Пифагора.

А теперь, коллеги, хочется напрямую обратиться к вам, как профессионалам в своем «математическом деле». Дело в том, что когда эта статься была представлена математикам нашей школы – они почти в полном составе заявили, что так преподавать математику нельзя. Для чистоты эксперимента не хотелось бы приводить их аргументы, а просто предложить высказаться вам – что вы думаете о предложенной методике преподавания. Насколько она эффективна и уместна в стенах школы? Думаю, это мог бы быть интересный обмен мнениями.

Опубликовано: 07.06.2016