Применение геометрической прогрессии в жизни

Автор: Гасанова Елена Николаевна

Организация: МБОУ СОШ №35 им. Героя Советского Союза Д.Ф. Чеботарёва

Населенный пункт: Воронежская область, г. Воронеж

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен её остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, он приказал привести его, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Вскоре изобретатель, его звали Сета, пришёл к царю. Шерам разрешил Сету просить самую смелую награду. Изобретатель подумал и попросил у царя за первую клетку шахматной доски 1 зерно, за вторую 2 зерна, за третью 4 зерна, за четвёртую 8 зёрен, за пятую 16 зёрен и так далее зерна за все 64 клетки доcки: за каждую вдвое больше предыдущей. Царь усмехнулся и сказал, что Сета получит свою жалкую награду и приказал придворным математикам подсчитать зёрна и отдать мешок зерна мудрецу. Когда математики доложили повелителю сколько они должны отдать зерна Сете, то он не поверил своим ушам. Во всех амбарах царства не было столько зерна, получилось 18 446 744 073 709 551 615.

Определение

Геометрическая прогрессия {bn} - это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.

Знаменатель геометрической прогрессии может принимать любые значения, кроме 0 и 1.

• Если q>0, то все последующие члены прогрессии имеют одинаковый знак – они положительны;
• если q<0, то все последующие члены прогрессии чередуют знаки;
• при −1<q<1– прогрессия называется бесконечно убывающей.

Уравнение членов геометрической прогрессии - b_n=b₁⋅q^n-1

Сумма членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: S_n=b₁*(qⁿ−1)/(q−1) или S_n=b₁*(1−qⁿ)/(1−q)

Если прогреcсия являетcя беcконечно убывающей, то: S_n=b₁/(q−1)

Применение геометрической прогрессии в жизни

Рассмотрим задачи, которые встречаются в жизни. В этих задачах применяется понятие геометрической прогрессии.

1. На перемене Катя съела пирожок. В организм девочки попало 20 бактерий, через каждые 10 минут бактерии удваиваются. Становится: 20; 40; 80; 160…

2. Для выступления в школьном концерте необходимо расшить костюм стразами спереди и сзади. На спине в первом ряду необходимо нашить 40 штук, а начиная со второго ряда в 2 раза меньше. А спереди в первом ряду 20 штук, а начиная со второго ряда в 2 раза меньше. Сколько нужно купить стразов для расшития всего костюма, если на спине сделать 3 ряда, а спереди 2 ряда.

Решение:

На спину: b₁=40, q=1/2, n=3;

S_n=b₁*(qⁿ−1)/(q−1),

S₃=40*((1/2)³−1)/(1/2−1)=70 стразов;

Спереди: b₁=20, q=1/2, n=2;

S₂=20*((1/2)²−1)/(1/2−1)=30 стразов;

Ответ: 70+30=100 стразов.

3. Пчела опыляет цветущие растения. За один раз она посещает 300 цветков. Если погода безветренная и тихая, то пчела увеличивает своё опыление в 1,5 раза. Сколько примерно цветков сможет опылить пчела за 5 вылетов. Округлить до целого.

Решение:

b₁=300, q=3/2, n=5;

S_n=b₁*(qⁿ−1)/(q−1),

S₅=300*((3/2)⁵−1)/(3/2−1)≈3956 цветков.

Ответ: 3956 цветков.

Заключение

Геометрическая прогрессия используется во всех сферах жизни. Открыли ее оень давно, но используют и по сей день. Это одно из фундаментальных понятий, которое есть на нашей планете.

Список используемой литературы:

1. М.И. Сканави. Сборник конкурсных задач по математике. Выпуск 2., 1998.

2. http://открытыйурок.рф/

3. http://www.grandars.ru/

Опубликовано: 27.09.2018